
MATH.1 ------------------------------------------





  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлААААААА  INNER  INTEGER  MOTILITIES  ААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл


 ABSTRACT


      It can be explicity shown that numbers used to count factors
 occurring in certain types of series, can themselves (the numbers for
 counting) be used to predict factors in the series. Furthermore, for
 certain integers, the numerological SUM(s) of the digits comprising a
 number can provide revealing information about a number's intrinsic
 permutations.


 TEXT RESUME

      A simple series   SERIES 1   is given, with specialties in its
 detailes specified. A second series   SERIES 2  ;   being more complex;
 is investigated in greater detail regards its inner or hidden specialties.






 REVEALED PROPERTES OF NUMBERS  (7, 9, and 11,)


      In a   SUPPLIMENTAL SECTION   permutative patterns in the natures of
 numbers  7,  9,  and  11,  are investigated to reveal intrinsic character-
 istics involving the way these integers  (7, 9, and 11,) form composite
 values. These insights are not currently known in the theories for these
 numbers (circ. 1991).




 IN SUMMARY

      1.    In  SERIES 1  and  SERIES 2  (which are shown further below)
            whole number integers used to count the list of values appearing
            in a series of factors,  are themselves used to compute other
            factors in the series.


      2.    In a   SUPPLIMENTAL SECTION   it is shown that;  in a
            composite number known to be a factor which includes either
            number  7,  9,  or  11,  the sum of the digits comprising the
            composite number can be summed and again summed until a single
            numerological integer is attained,  where-in the attained
            integer is shown to be an intrinsic term in the formation
            of the composite number.


            In the case of number  7,  the attained integer identifies the
            value of the integer which begins number  7's  characteristic
            six pack set of digits whose basic form is a decimal set
            comprising   .142857  ;  which is the number   1   .
                                                          ФФФ
                                                           7


            In the case of number  9,  the attained integer is used
            to identify the value of the digit which typically appears
            repeated after the decimal point.  For example the  .1111111
            of number  1   .
                      ФФФ
                       9

            In the case of number 11,  the attained integer is a constant
            related to  9,  used to help demonstrate that permutations of
            number  11  can be rigorously systematical in accord with
            given progressions in which number  11  is a constant factor.


      3.    A universal generator formula is them shown, in which the
            numbers  7, 9, and 11,  each contribute to the construction
            of most rational numbers. this provides proof that numerological
            factoring exists in reality.



 IN DETAIL



      The investigation begins with an introductory section preceding
 SERIES 1  ;  as follows below.



 INTRODUCTION

      In introduction, the term   G =  ћ5  + .5    is  1.6180339887 .
                                      ФФФФ
                                        2

      This number is historically recognized as the historically famous
 Golden Section Number, which is found as (or is approximated as) a common
 ratio in such diverse expressions as geometry, nature, and number theory.

      Geometry includes a regular  10  sided polygon or star, and a golden
 rectangle.

      Nature includes the golden spiral and progressions of leaves of a stem.

      Number theory includes the  FIBONNACI  Series of which  Bode's Law  for
distribution of planet orbits in the solar system is but one manifestation.


      It can be easily shown that :

    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ
   \Г any number + 1      =  x1

    кФФФФФФФФ
   \Г x1 +1               =  x2

    кФФФФФФФФ
   \Г x2 + 1              =  x3    ... which through repeating
                                       operations homes in to:


    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ
   \Г x          + 1      =  G     =  1.6180339887                   EQ. 1
       (n...)




      Such that :


    кФФФФФФФФ
   \Г G + 1               =  G



      This is interesting, because  G  is otherwise well known as the
      number whose factors include :

              2
             G   =  G + 1                                            EQ. 2


      Has something  NEW  been discovered about  G  !

      Well,  G  has also the factors:

                    кФ     ФП
                    Г  ћ5   Г
             G  =   Г  ФФФ  Г  +  .5                                 EQ. 3
                    Г   2   Г

                    РФ     Фй



      Where - in there is also:



    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
   \Г (any number) + .5     =  x1   ;  which leads to


                               кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ         Г  ћ3   Г
    Г x        + .5         =  Г  ФФФ  Г  + .5      =   1.366025403784
   \Г  (n...)                  Г   2   Г
                               РФ     Фй                             EQ. 4


      And:



    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
   \Г (any number)  + .25       =  x1  ;   which leads to


                                   кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ             Г  ћ2   Г
    Г x        + .25            =  Г  ФФФ  Г  + .5     =  1.207106781186
   \Г  (n...)                      Г   2   Г
                                   РФ     Фй                         EQ. 5



      Effectively:


                                   кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ             Г  ћy   Г
    Г x        +  Xo            =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                      Г   2   Г
                                   РФ     Фй                         EQ. 6


      where  Xo  is a composite value equal to  ((n) (.25))  .


      In other words;  EQ. 3  is in a progression
      for the following Series:


 TABLE 1
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


              (Xo) Values        Values of  ћy

                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ2   Г
    Г x        + .25          =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ3   Г
    Г x        + .50          =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ4   Г
    Г x        + .75          =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП                           EQ. 7
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ5   Г
    Г x        + 1.0          =  Г  ФФФ  Г  + .5      =  G    =  1.6180339887
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй            This  G  is now seen
                                                      as but one value in a
                                                      continuum of terms
                                 кФ     ФП            sourced in a particular
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ6   Г            progression.
    Г x        + 1.25         =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ7   Г
    Г x        + 1.50         =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ8   Г
    Г x        + 1.75         =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ9   Г
    Г x        + 2.0          =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћ2   Г
    Г x        + .25          =  Г  ФФФ  Г  + .5      =  2
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй

    continue....

            where it is noted that obvious lineal correspondence
            occurs between the  (Xo)  value and the  (y)  value of


                                 кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФ           Г  ћy   Г
    Г x        + Xo           =  Г  ФФФ  Г  + .5
   \Г  (n...)                    Г   2   Г
                                 РФ     Фй


            The actual lineal correspondence is:

      Xo
    ФФФФФФ   =  n   ;      and    (n + 1)  =  y   .
     .25


            This is the same as:


      ((Xo  x  4)  +  1)   =  y   .


            But in the overall, a whole integer progression in  (y)
            is best seen identified with whole unit progressions of:


            (.25  +  .25  +  .25  +  ...)   =   (n)(.25)  .

              1       2       3     n...






  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААА  IN  THE  NEXT  FEW  PAGES  ARE  SEVERAL  DETAILING      АААААААлГ
 ГлАААААА  STEPS  WHICH  ARE  COVERED  QUICKLY,  SO  BE  PREPARED. АААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл



    A general format of the progression can be:


                                    кФ     ФП
    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ         Г  ћy   Г
    Г x        +  (n)(.25)       =  Г  ФФФ  Г  + .5   ;
   \Г  (n...)                       Г   2   Г
                                    РФ     Фй

               where  (y)  is predicted as being equal to


                                  кФ              ФП
                                  Г кФ    ФП       Г
                                  Г Г  Xo  Г       Г
               (Xo x 4)  +  1   = Г Г ФФФФ Г  + 1  Г
                                  Г Г .25  Г       Г
                                  Г РФ    Фй       Г
                                  РФ              Фй


               for finding number  (y)  .


               Conversly;   (Xo)  is predicted as being equal to
               ((y) - 1)(.25)     if  (y)  is given first.

                          кФ       ФП                 кФ    ФП
               The term   Г x       Г   is actually   Г  ћ5  Г  + .5   .
                          Г  (n...) Г                 Г ФФФФ Г
                          РФ       Фй                 Г   2  Г
                                                      РФ    Фй

    With these steps identified   TABLE 1   is generalized into an
    equation for any value for  (y)  .  For example;  in that  у  besides
    being a constant known as  Pi , is also any number;  then:


               (n + 1)  =  (у + 1)  ;   so that:



    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
    Г  кФ                 ФП
    Г  Г кФ      ФП        Г                        кФ      ФП
    Г  Г Г ћу + 1 Г        Г                        Г ћу + 1 Г
    Г  Г Г ФФФФФФ Г  + .5  Г  (у)(.25)         =    Г ФФФФФФ Г  + .5
    Г  Г Г   2    Г        Г                        Г   2    Г
    Г  Г РФ      Фй        Г                        РФ      Фй
   \Г  РФ                 Фй



    And another example is:


    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ                           EQ. 8
    Г  кФ                  ФП
    Г  Г кФ       ФП        Г                        кФ       ФП
    Г  Г Г ћ11 + 1 Г        Г                        Г ћ11 + 1 Г
    Г  Г Г ФФФФФФФ Г  + .5  Г  (11)(.25)        =    Г ФФФФФФФ Г  + .5
    Г  Г Г    2    Г        Г                        Г    2    Г
    Г  Г РФ       Фй        Г                        РФ       Фй
   \Г  РФ                  Фй



            displays the internal number operations;
            where factor                       кФ  ФП
                                               Г 11 Г
                          (11)(.25)  is  also  Г ФФ Г  =  2.75  =  Xo  .
                                               Г 4  Г
                                               РФ  Фй



    Hence:


    кФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
    Г  кФ             ФП
    Г  Г кФ  ФП        Г
    Г  Г Г ћy Г        Г                      ћy
    Г  Г Г ФФ Г  + .5  Г  +  Xo         =    ФФФФФ   + .5            EQ. 9
    Г  Г Г 2  Г        Г                       2
    Г  Г РФ  Фй        Г
   \Г  РФ             Фй




    For the record, two other whole number progressions
    are revealed in the internal order of   TABLE 1  ;
    having tabular representation as follows:






 TABLE 2
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


           First is a routine lineal progression as follows:



           ћ1                                                        2
 1.       ФФФФФ  + .5       =   ћ.25   + .5            for  (y)  =  1
            2


           ћ2                                                        2
 2.       ФФФФФ  + .5       =   ћ.5    + .5            for  (y)  =  1
            2


           ћ3
 3.       ФФФФФ  + .5       =   ћ.75   + .5
            2


           ћ4                                                        2
 4.       ФФФФФ  + .5       =   ћ1.0   + .5            for  (y)  =  2
            2


           ћ5
 5.       ФФФФФ  + .5       =   ћ1.25  + .5     =  G     =  1.6180339887
            2


           ћ6
 6.       ФФФФФ  + .5       =   ћ1.5   + .5
            2


           ћ7
 7.       ФФФФФ  + .5       =   ћ1.75  + .5
            2


           ћ8
 8.       ФФФФФ  + .5       =   ћ2     + .5
            2


           ћ9                                                        2
 9.       ФФФФФ  + .5       =   ћ2.25  + .5            for  (y)  =  3
            2


           ћ10
 10.      ФФФФФ  + .5       =   ћ2.5   + .5
            2


     .............


           ћ16                                                       2
 16.      ФФФФФ  + .5       =   ћ4     + .5            for  (y)  =  4
            2


     .............


           ћ25                                                       2
 25.      ФФФФФ  + .5       =   ћ6.25  + .5            for  (y)  =  5
            2


     .............


           ћ36                                                       2
 36.      ФФФФФ  + .5       =   ћ9     + .5            for  (y)  =  6
            2


     .............


           ћ49                                                       2
 49.      ФФФФФ  + .5       =   ћ12.25 + .5            for  (y)  =  7
            2



     continue.....




 TABLE 3
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ

           Where  LINEAL SUM  terms internally progress as follows:


 When:
              Г          Г           Г        кФФФФФФП
          2   Г          Г           Г        Г Sums Г      кФФФФФФП
         1    Г   ћ.25   Г     .25   Г   ФФП  РФФФФФФй      Г Sums Г
              Г          Г           Г     Г                РФФФФФФй
          2   Г          Г           Г     Г    .75    ФФП
 (y-1)=П 2    Г   ћ1     Г    1.0    Г   ЭЭЕ             Г    .5
       Г      Г          Г           Г     Г             Г
       Г  2   Г          Г           Г     Г   1.25    ЭЭЕ
       Г 3    Г   ћ2.25  Г    2.25   Г   ЭЭЕ             Г    .5
             Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   1.75    ЭЭЕ
         4    Г   ћ4     Г    4.0    Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   2.25    ЭЭЕ
         5    Г   ћ6.25  Г    6.25   Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   2.75    ЭЭЕ
         6    Г   ћ9     Г    9.0    Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   3.25    ЭЭЕ
         7    Г  ћ12.25  Г   12.25   Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   3.75    ЭЭЕ
         8    Г  ћ16     Г   16.0    Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   4.25    ЭЭЕ
         9    Г  ћ20.25  Г   20.25   Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   4.75    ЭЭЕ
        10    Г  ћ25     Г   25.0    Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   5.25    ЭЭЕ
        11    Г  ћ30.25  Г   30.25   Г   ЭЭЕ             Г    .5
              Г          Г           Г     Г             Г
          2   Г          Г           Г     Г   5.75    ФФй
        12    Г  ћ36     Г   36.0    Г   ФФй
              Г          Г           Г
     continue.....


                                               For example:

                                                            2
                                            ћ50-1         ћ7
                                           ФФФФФФФ   =  ФФФФФФФ   =  ћ12.25
                                              2            2


                                               In that:


                                              7
                                           ФФФФФФФ   =   3.5
                                              2

                                                     =   ћ(49)(.25)



                                                              2
           Where it is clear that even number values of  (y-1)
           internally progress in  LINEAL SUM  terms as follows:


 (y-1) terms  П
              Г
          кФФФй    Г       Г                Г
          Г        Г   2   Г             2  Г
          Г        Г  1    Г   1.0  =   1   Г
                  Г       Г                Г
                   Г       Г                Г  In that:
              2    Г   2   Г                Г
 even  (2 x 1)     Г  2    Г                Г
                   Г       Г                Г    кФФ                  ФФП 2
                   Г   2   Г                Г    Г  кФФФФФФФФФФФФФФФФФФ Г
                   Г  3    Г                Г    Г  Г кФФФФФФП      2   Г
                   Г       Г                Г    Г  Г Г EVEN Г (y-1)    Г
              2    Г   2   Г             2  Г    Г \Г РФФФФФФй          Г
 even  (2 x 2)     Г  4    Г   4.0  =   4   Г    Г ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ Г
                   Г       Г                Г    Г           2          Г
                   Г   2   Г                Г    РФФ                  ФФй
                   Г  5    Г                Г
                   Г       Г                Г        =  LINEAL SUM of
              2    Г   2   Г             2  Г                          2
 even  (2 x 3)     Г  6    Г   9.0  =   3   Г           (whole integer)
                   Г       Г                Г
                   Г   2   Г                Г
                   Г  7    Г                Г
                   Г       Г                Г  For Example:
              2    Г   2   Г             2  Г
 even  (2 x 4)     Г  8    Г  16.0  =   4   Г         кФФФФФФП             2
                   Г       Г                Г   When  Г EVEN Г (y-1)  is  6
                   Г   2   Г                Г         РФФФФФФй
                   Г  9    Г                Г                                 2
                   Г       Г                Г               =  lineal sum of 3
              2    Г   2   Г              2 Г
 even  (2 x 5)     Г 10    Г  25.0  =    5  Г
                   Г       Г                Г   Then:   ћ36
                   Г   2   Г                Г          ФФФФФ  + .5   =  ћ9 + .5
                   Г 11    Г                Г            2
                   Г       Г                Г
              2    Г   2   Г              2 Г                кФФФФФФФФФФФ
 even  (2 x 6)     Г 12    Г  36.0  =    6  Г            =  \Г(36)(.25)    +  .5
                   Г       Г                Г
                   Г       Г                Г
 continue.....



    Whereas, as in a Second Group of Routine Lineal Progressions,
    the final value of  кФ   ФП          arrange as follows:
                        Г ћy  Г
                        Г ФФФ Г  +  .5
                        Г  2  Г
                        РФ   Фй




 TABLE 4
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


 FOR       (y)           (y)        RESULTING      RESULTING
        кФФФФФФП      кФФФФФФП      кФФФФФФФП      кФФФФФФФП
        Г ODD  Г      Г EVEN Г      Г WHOLE Г      ГDECIMALГ
        РФФФФФФй      РФФФФФФй      РФФФФФФФй      РФФФФФФФй
        integers      integers      integers       integers


     Г            Г             Г               Г             Г
  2  Г  ћ1        Г             Г           2   Г             Г
 1   Г ФФФФ  + .5 Г             Г  = 1  =  ФФФ  Г             Г
     Г   2        Г             Г           2   Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г   ћ4        Г               Г             Г     3
  2  Г            Г  ФФФФ  + .5 Г  -----------> Г  ћ1  +  .5  Г  = ФФФ   = 1.5
 2   Г            Г    2        Г               Г             Г     2
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
  2  Г  ћ9        Г             Г           4   Г             Г
 3   Г ФФФФ  + .5 Г             Г  = 2  =  ФФФ  Г             Г
     Г   2        Г             Г           2   Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г   ћ16       Г               Г             Г     5
  2  Г            Г  ФФФФ  + .5 Г  -----------> Г  ћ4  +  .5  Г  = ФФФ   = 2.5
 4   Г            Г    2        Г               Г             Г     2
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
  2  Г  ћ25       Г             Г           6   Г             Г
 5   Г ФФФФ  + .5 Г             Г  = 3  =  ФФФ  Г             Г
     Г   2        Г             Г           2   Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г   ћ36       Г               Г             Г     7
  2  Г            Г  ФФФФ  + .5 Г  -----------> Г  ћ9  +  .5  Г  = ФФФ   = 3.5
 6   Г            Г    2        Г               Г             Г     2
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
  2  Г  ћ49       Г             Г           8   Г             Г
 7   Г ФФФФ  + .5 Г             Г  = 4  =  ФФФ  Г             Г
     Г   2        Г             Г           2   Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г   ћ64       Г               Г             Г     9
  2  Г            Г  ФФФФ  + .5 Г  -----------> Г  ћ16 +  .5  Г  = ФФФ   = 4.5
 8   Г            Г    2        Г               Г             Г     2
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
  2  Г  ћ81       Г             Г           10  Г             Г
 9   Г ФФФФ  + .5 Г             Г  = 5  =  ФФФФ Г             Г
     Г   2        Г             Г           2   Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г   ћ100      Г               Г             Г    11
  2  Г            Г  ФФФФ  + .5 Г  -----------> Г  ћ25 +  .5  Г  = ФФФ   = 5.5
10   Г            Г    2        Г               Г             Г     2
     Г            Г             Г               Г             Г
     Г            Г             Г               Г             Г

continue.....



    Internalizing of number patterns is by no means limited to the above
 examples. It seems there are many ways decimal values and digits can array
 in Generator Series that have predictive parameters.

    Two other such series are profiled in the following:



                   SERIES 1
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


    1(ћ5)  =  ћ5      ФФП
                        Г
                        Г  15
                        Г
    2(ћ5)  =  ћ20     ЭЭЕФФФФФФФ
                        Г
                        Г  15
                        Г
    3(ћ5)  =  ћ45     ЭЭЕФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФП
                        Г                          Г
                        Г  35   кФФФФФФП                          кФФФФФФФФФ
                        Г       Г sums Г          Stabalizes to  \Г x + 10
    4(ћ5)  =  ћ80     ЭЭЕ       РФФФФФФй
                        Г          Г              per augmentation of
                        Г  45      Г  10
                        Г          Г                  ((n) + 1) ћ5
    5(ћ5)  =  ћ125    ЭЭЕ        ЭЭЕ
                        Г          Г
                        Г  55      Г  10
                        Г          Г
    6(ћ5)  =  ћ180    ЭЭЕ        ЭЭЕ              THE AXIOM IS:
                        Г          Г
                        Г  65      Г  10                      кФФФФФФФФФФФ
                        Г          Г              (n) ћ5  =   Г    2
    7(ћ5)  =  ћ245    ЭЭЕ        ЭЭЕ                         \Г (n)   (5)
                        Г          Г
                        Г  75      Г  10
                        Г          Г
    8(ћ5)  =  ћ320    ЭЭЕ        ЭЭЕ
                        Г          Г              Given  (n) ћ5  =  ћx   ;
                        Г  85      Г  10
                        Г          Г                               кФ      ФП
    9(ћ5)  =  ћ405    ЭЭЕ          .                               Г    2   Г
                        Г          .              then any  x  is  Г (n)  5 Г
                        Г  95      .                               РФФ     Фй
                        Г          .
   10(ћ5)  =  ћ500    ФФй

   continue.....

                                                          2
              For example, when   6(ћ5) = ћ180  ;  then  6  (5) = 180   ;

              where the end term  (180)  is predicted without
              square or square root factors.


              Generally for any square root, multiplied by any number, there
              is a factor:    кФ      ФП
                              Г    2   Г  ;   where  (y)  is any number.
                            x Г (n)  y Г
                              РФФ     Фй


              FOR instance when  (y) = 6  ;

              then:   4(ћ6) = ћ96

              and:    16(6) = 96


              ALSO, when  (y) = 32.345   (an arbitrary number)

              then:   4 ћ32.345   =  ћ517.52

              and:    16 (32.345) =  517.52   .


              ALSO, when  (n) = 4.123    (an arbitrary number)

              then:   4.123 (ћ32.345)   =  ћ549.836827505

                             2
              and:    (4.123)   (32.345)   =  549.836827505



   GENERALLY;

                          xкФФФФФ          xкФФФФ
              ANY    (n)  \Г (y)      =    \Г Z


                        x
              AND    (n)  (y)         =    Z



   Which can combine as:

                   кФ            ФПx
                   Г      xкФФФФФ Г          x
                   Г (n)  \Г (y)  Г   =   (n)  (y)
                   РФ            Фй


              As in for example:

                   кФ        ФП3
                   Г    3кФФФ Г          3
                   Г 4  \Г G  Г   =   (4)  G   ;
                   РФ        Фй


              Such that any permutations upon  (n)  or  (y)  or both can;
              though not of necessity will; generate other internal patterns.

              It also means naturally that  SERIES 1
              is not incidental to  ћ5




  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл


      Other numerical series are of course endemic in  BASE 10  numbers.
 Typically, a numerically series is interesting when internal regularities,
 or even other series, are generated.

      In the next examples, generated regularities are identified in
 what at first appears routine and simple  TABLES  of Standard Data.
                            кФ    ФП
                            Г  1   Г
      In particular,      n Г ФФФФ Г   can be shown to be generative.
                            Г  ћ5  Г
                            РФ    Фй

                            кФ    ФП
                            Г  1   Г
      But, then, so can   n Г ФФФФ Г   for instance.
                            Г  ћ3  Г
                            РФ    Фй
                                                           кФ    ФП
                                                           Г  1   Г
      It turns out that any series comprising   (x) +  (n) Г ФФФФ Г   ;
                                                           Г  ћy  Г
                                                           РФ    Фй

               where  (x)  is any whole number;  has common internal
               characteristics;  even though the outcomes may seem quite
               dissimilar per given value of  (y) .


      For example;   when  (y) = 5 ;   then:





                   SERIES 2
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ

 TABLE 5
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


                                  кФФФФФФП
                                  Г SUMS Г
      кФ    ФП                    РФФФФФФй      кФФФФФП
      Г  1   Г                                  Г SUM Г
    1 Г ФФФФ Г    =  ћ.2      ФФП               РФФФФФй
      Г  ћ5  Г                  Г
      РФ    Фй                  Г   .6      ФФП
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г                  1
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4      =   ФФФФФФФ
    2 Г ФФФФ Г    =  ћ.8        Г             Г                  5
      Г  ћ5  Г                  Г             Г                 ФФФ
      РФ    Фй                  Г  1.0      ЭЭЕ                  2
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
    3 Г ФФФФ Г    =  ћ1.8       Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  1.4      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
    4 Г ФФФФ Г    =  ћ3.2       Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  1.8      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                  Г             Г   .4
    5 Г ФФФФ Г    =  ћ5         Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  2.2      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
    6 Г ФФФФ Г    =  ћ7.2       Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  2.6      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
    7 Г ФФФФ Г    =  ћ9.8       Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  3.0      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
    8 Г ФФФФ Г    =  ћ12.8      Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  3.4      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
    9 Г ФФФФ Г    =  ћ16.2      Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  3.8      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
   10 Г ФФФФ Г    =  ћ20        Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  4.2      ЭЭЕ
                                Г             Г
      кФ    ФП                  Г             Г
      Г  1   Г                ЭЭЕ             Г   .4
   11 Г ФФФФ Г    =  ћ24.2      Г             Г
      Г  ћ5  Г                  Г             Г
      РФ    Фй                  Г  4.6      ФФй
                                Г
      кФ    ФП                  Г
      Г  1   Г                ФФй
   12 Г ФФФФ Г    =  ћ28.8
      Г  ћ5  Г
      РФ    Фй

   continue.....


                     which has Hidden Internal Regularity which
                     can be demonstrated in the following:


 TABLE 6
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ
                               кФФФП
                               Г Z Г       кФФФФП     кФФФФП
         кФ    ФП              РФФФй       Г Z  Г  -  Г Z  Г
         Г  1   Г                          Г  2 Г     Г  1 Г
 1.    5 Г ФФФФ Г  =  ћ5    ФФП            РФФФФй     РФФФФй
         Г  ћ5  Г             Г
         РФ    Фй             Г   15    ФФП      кФФФФФФФФФП   кФФФФФФФФФФП
                              Г           Г      Г Z  - Z  Г - Г Z  -  Z  Г
         кФ    ФП             Г           Г      Г  3    2 Г   Г  2     1 Г
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г      РФФФФФФФФФй   РФФФФФФФФФФй
 2.   10 Г ФФФФ Г  =  ћ20     Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г
         РФ    Фй             Г   25    ЭЭЕ   10
                              Г           Г
         кФ    ФП             Г           Г                         кФФФФФФФФП
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г                         Г COUNTS Г
 3.   15 Г ФФФФ Г  =  ћ45     Г           Г           In which the  РФФФФФФФФй
         Г  ћ5  Г             Г           Г           are predictive of the
         РФ    Фй             Г   35    ЭЭЕ   10      values of  Z  in the
                              Г           Г           following manner:
         кФ    ФП             Г           Г
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г
 4.   20 Г ФФФФ Г  =  ћ80     Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г                  кФФФФФФФП
         РФ    Фй             Г   45    ЭЭЕ   10             Г COUNT Г
                              Г           Г                A РФФФФФФФй is
         кФ    ФП             Г           Г
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г                (n.)  =  (n)(y)
 5.   25 Г ФФФФ Г  =  ћ125    Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г           where  (n.)  is a whole
         РФ    Фй             Г   55    ЭЭЕ   10      integer such as any
                              Г           Г           number for an Index of
         кФ    ФП             Г           Г           terms.
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г
 6.   30 Г ФФФФ Г  =  ћ180    Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г           For instance in
         РФ    Фй             Г   65    ЭЭЕ   10      TABLE 6  ;  (n.) = Z.
                              Г           Г           is actually  (n) = 10
         кФ    ФП             Г           Г           of  TABLE 6.
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г
 7.   35 Г ФФФФ Г  =  ћ245    Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г
         РФ    Фй             Г   75    ЭЭЕ   10
                              Г           Г
         кФ    ФП             Г           Г
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г
 8.   40 Г ФФФФ Г  =  ћ320    Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г
         РФ    Фй             Г   85    ЭЭЕ   10
                              Г           Г
         кФ    ФП             Г           Г
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г
 9.   45 Г ФФФФ Г  =  ћ405    Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г
         РФ    Фй             Г   95    ЭЭЕ   10
                              Г           Г
         кФ    ФП             Г           Г
         Г  1   Г           ЭЭЕ           Г
 10.  50 Г ФФФФ Г  =  ћ500    Г           Г
         Г  ћ5  Г             Г           Г
         РФ    Фй             Г  4.2    ЭЭЕ   10
                              Г           Г
                            ФФй

   continue.....



 TABLE 7
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


 кФФФФФФФП              кФФФП                    As in:
 Г COUNT Г              Г Z Г
 РФФФФФФФй              РФФФй

                                                  2
 1.     1 (1 x 5)   =   5                        1

                              ФФП   15
                                Г                 2
 2.     2 (2 x 5)   =   20      Г                2
                                Г
                              ЭЭЕ   25
                                Г                 2
 3.     3 (3 x 5)   =   45      Г                3
                                Г
                              ЭЭЕ   35
                                Г                 2
 4.     4 (4 x 5)   =   80      Г                4
                                Г
                              ЭЭЕ   45
                                Г                 2
 5.     5 (5 x 5)   =  125      Г                5
                                Г
                              ЭЭЕ   55
                                Г                 2
 6.     6 (6 x 5)   =  180      Г                6
                                Г
                              ЭЭЕ   65
                                Г
 7.     7 (7 x 5)   =  245      Г                Continue....
                                Г
                              ЭЭЕ   75
                                Г
 8.     8 (8 x 5)   =  320      Г
                                Г
                              ЭЭЕ   85
                                Г                Whereby;
 9.     9 (9 x 5)   =  405      Г                                 кФФФФФФФП
                                Г                when  (n.)  is a Г COUNT Г
                              ФФй                                 РФФФФФФФй
                                                 then:
 10.   10 (10 x 5)  =  500
                                                   кФ    ФП     кФФФФФФФФФФФФФ
                                                   Г  1   Г     Г     2
 Continue....                            ((n.)(y)) Г ФФФФ Г  =  Г (n.)   (y)
                                                   Г  ћy  Г    \Г
                                                   РФ    Фй

                                                   кФФФФФФФП
                                         when any  Г COUNT Г  term is given as:
                                                   РФФФФФФФй

                                          (n)
                                         ФФФФФ  =  (n.)   .
                                           y




      For instance  ћ3  demonstrates the same

                                                 кФФФФФФФП
      internal regularity as does  ћ5  when any  Г COUNT Г
                                                 РФФФФФФФй
          кФ   ФП     кФ   ФП
      is  Г  n  Г     Г  n  Г
          Г ФФФ Г  =  Г ФФФ Г   ;
          Г  y  Г     Г  3  Г
          РФ   Фй     РФ   Фй

      as follows;  in which digital recurrencing is obvious. Such
      digital recurrencing turns up seemingly ad hoc through myriad
      trignometry and other mathematical manners, but here next below,
      the recurrencing is shown to be rigorously under an internal
      control:





 TABLE 8
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ



                       кФФФФФФФФФФФП
                       Г Z  VALUES Г
                       РФФФФФФФФФФФй

         кФ    ФП                              кФФФФФФП
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ФФП  Г SUMS Г
 1.    1 Г ФФФФ Г  =  \Г  .33333333333      Г  РФФФФФФй
         Г  ћ3  Г                           Г                     кФФФФФП
         РФ    Фй                           Г   1.0          ФФП  Г SUM Г
                                            Г                  Г  РФФФФФй
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 2.    2 Г ФФФФ Г  =  \Г 1.33333333333      Г                  Г         1
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г    =  ФФФФФ
         РФ    Фй                           Г   1.666666666  ЭЭЕ         3
                                            Г                  Г        ФФФ
                                            Г                  Г         2
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 3.    3 Г ФФФФ Г  =  \Г 3                  Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г   2.333333333  ЭЭЕ
                                            Г                  Г
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 4.    4 Г ФФФФ Г  =  \Г 5.33333333333      Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   3.0          ЭЭЕ
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 5.    5 Г ФФФФ Г  =  \Г 8.33333333333      Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   3.666666666  ЭЭЕ
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 6.    6 Г ФФФФ Г  =  \Г 12                 Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   4.333333333  ЭЭЕ
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 7.    7 Г ФФФФ Г  =  \Г 16.3333333333      Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   5.0          ЭЭЕ
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 8.    8 Г ФФФФ Г  =  \Г 21.3333333333      Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   5.666666666  ЭЭЕ
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 9.    9 Г ФФФФ Г  =  \Г 27                 Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г                ЭЭЕ
                                            Г   6.333333333    Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 10.  10 Г ФФФФ Г  =  \Г 33.3333333333      Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   7.0          ЭЭЕ
                                            Г                  Г
         кФ    ФП                           Г                  Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФ    ЭЭЕ                  Г  .6666666666
 11.  11 Г ФФФФ Г  =  \Г 40.3333333333      Г                  Г
         Г  ћ3  Г                           Г                  Г
         РФ    Фй                           Г                  Г
                                            Г   7.666666666  ФФй
                                            Г                  .
         кФ    ФП                           Г                  .
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФФФФФФ   ФФй                  .
 12.  12 Г ФФФФ Г  =  \Г 48.33333333333     .                  .
         Г  ћ3  Г                           .                  .
         РФ    Фй                           .                  .
                                            .   8.333333333    .


         Continue....



      Here it is clear that a dazzling array of repeating digits is
      instate in a series that is both generative and predictive.



              For example;


                  When  3  is substituted for  5  in  Z  of  TABLE 6 ;  and

                   n                        n           кФФФФФФФП
                  ФФФ  is substituted for  ФФФ  in the  Г COUNT Г  ;   then ;
                   3                        5           РФФФФФФФй







 TABLE 9
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ

                       кФФФП                кФФФФП     кФФФФП
                       Г Z Г                Г Z  Г  -  Г Z  Г
                       РФФФй                Г  2 Г     Г  1 Г
                                            РФФФФй     РФФФФй
         кФ    ФП
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ФФП
 1.    3 Г ФФФФ Г  =  \Г 3               Г           кФФФФФФФФФП   кФФФФФФФФФФП
         Г  ћ3  Г                        Г           Г Z  - Z  Г - Г Z  -  Z  Г
         РФ    Фй                        Г   9   ФФП Г  3    2 Г   Г  2     1 Г
                                         Г         Г РФФФФФФФФФй   РФФФФФФФФФФй
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 2.    6 Г ФФФФ Г  =  \Г 12              Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г  15   ЭЭЕ
                                         Г         Г
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 3.    9 Г ФФФФ Г  =  \Г 27              Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г  21   ЭЭЕ
                                         Г         Г
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 4.   12 Г ФФФФ Г  =  \Г 48              Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г  27   ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 5.   15 Г ФФФФ Г  =  \Г 75              Г         Г
         Г  ћ3  Г               2        Г         Г
         РФ    Фй      = (10) ФФФФ       Г         Г
                               ћ3        Г  33   ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 6.   18 Г ФФФФ Г  =  \Г 108             Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г  39   ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 7.   21 Г ФФФФ Г  =  \Г 147             Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г  45   ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 8.   24 Г ФФФФ Г  =  \Г 192             Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г  51   ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 9.   27 Г ФФФФ Г  =  \Г 243             Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г       ЭЭЕ
                                         Г  57     Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 10.  30 Г ФФФФ Г  =  \Г 300             Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй        = (10) ћ3       Г         Г
                                         Г  63   ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  6
 11.  33 Г ФФФФ Г  =  \Г 363             Г         Г
         Г  ћ3  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г  69   ФФй
                                         Г
         кФ    ФП                        Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ФФй
 12.  36 Г ФФФФ Г  =  \Г 432
         Г  ћ3  Г
         РФ    Фй

         Continue....



                  And;  as with  ћ5  ;
                  there is;



 TABLE 10
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


 кФФФФФФФП              кФФФП                    As in:
 Г COUNT Г              Г Z Г
 РФФФФФФФй              РФФФй

                                                  2
 1.     1 (1 x 3)   =   3                        1  = 1

                              ФФП    9
                                Г                 2
 2.     2 (2 x 3)   =   12      Г                2  = 4
                                Г
                              ЭЭЕ   15
                                Г                 2
 3.     3 (3 x 3)   =   27      Г                3  = 9
                                Г
                              ЭЭЕ   21
                                Г                 2
 4.     4 (4 x 3)   =   48      Г                4  = 16
                                Г
                              ЭЭЕ   27
                                Г                 2
 5.     5 (5 x 3)   =   75      Г                5  = 25
                                Г
                              ЭЭЕ   33
                                Г                 2
 6.     6 (6 x 3)   =  108      Г                6  = 36
                                Г
                              ЭЭЕ   39
                                Г                 2
 7.     7 (7 x 3)   =  147      Г                7  = 49
                                Г
                              ЭЭЕ   45
                                Г                 2
 8.     8 (8 x 3)   =  192      Г                8  = 64
                                Г
                              ЭЭЕ   51
                                Г                 2
 9.     9 (9 x 3)   =  243      Г                9  = 81
                                Г
                              ЭЭЕ   57
                                Г                 2
 10.   10 (10 x 3)  =  300      Г               10  = 100
                                Г
                              ФФй
       Continue....

               Exploration of the  SERIES GENERATOR ;

                    1
               (n) ФФФ  =  ћZ    continues with  (y) = 4  ;   thus:
                   ћy


 TABLE 11
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ

                       кФФФП                кФФФФП     кФФФФП
                       Г Z Г                Г Z  Г  -  Г Z  Г
                       РФФФй                Г  2 Г     Г  1 Г
                                            РФФФФй     РФФФФй
         кФ    ФП                                    кФФФФФФФФФП   кФФФФФФФФФФП
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ФФП           Г Z  - Z  Г - Г Z  -  Z  Г
 1.    1 Г ФФФФ Г  =  \Г .25             Г           Г  3    2 Г   Г  2     1 Г
         Г  ћ4  Г                        Г           РФФФФФФФФФй   РФФФФФФФФФФй
         РФ    Фй                        Г  .75  ФФП                        1
                                         Г         Г                    = ФФФФФ
                                         Г         Г                        y
         кФ    ФП                        Г         Г            1          ФФФ
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5   =  ФФФФФ         2
 2.    2 Г ФФФФ Г  =  \Г 1               Г         Г            4
         Г  ћ4  Г                        Г         Г           ФФФ
         РФ    Фй                        Г 1.25  ЭЭЕ            2
                                         Г         Г
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 3.    3 Г ФФФФ Г  =  \Г 2.25            Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г 1.75  ЭЭЕ
                                         Г         Г
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 4.    4 Г ФФФФ Г  =  \Г 4               Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г 2.25  ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 5.    5 Г ФФФФ Г  =  \Г 6.25            Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г 3.25  ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 6.    6 Г ФФФФ Г  =  \Г 9               Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г 3.75  ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 7.    7 Г ФФФФ Г  =  \Г 12.25           Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г 4.25  ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 8.    8 Г ФФФФ Г  =  \Г 16              Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г 4.75  ЭЭЕ
                                         Г         Г
         кФ    ФП                        Г         Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ЭЭЕ         Г  .5
 9.    9 Г ФФФФ Г  =  \Г 20.25           Г         Г
         Г  ћ4  Г                        Г         Г
         РФ    Фй                        Г         Г
                                         Г 5.25  ФФй
                                         Г
         кФ    ФП                        Г
         Г   1  Г      кФФФФФФФФФФ     ФФй
 10.  10 Г ФФФФ Г  =  \Г 25
         Г  ћ4  Г
         РФ    Фй

         Continue....


                  And;  as with  ћ3  and  ћ5  ;
                  there is;



 TABLE 12
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ


 кФФФФФФФП              кФФФП
 Г COUNT Г              Г Z Г
 РФФФФФФФй              РФФФй

                                   2
 1.    1 (1 x 4)   =   4    =   2
                   = (1x2)§
                                    ФФП  12
                                 2    Г
 2.    2 (2 x 4)   =  16    =   4     Г      ФФП   8
                   = (2x2)§           Г        Г
                                    ЭЭЕ  20    Г        Where; also as before:
                                 2    Г        Г        кФФФФФФФП
 3.    3 (3 x 4)   =  36    =   6     Г      ЭЭЕ   8    Г COUNT Г
                   = (3x2)§           Г        Г        РФФФФФФФй
                                    ЭЭЕ  28    Г
                                 2    Г        Г
 4.    4 (4 x 4)   =  64    =   8     Г      ЭЭЕ   8
                      etc.            Г        Г
                                    ЭЭЕ  44    Г
                                 2    Г        Г
 5.    5 (5 x 4)   = 100    =  10     Г      ЭЭЕ   8
                                      Г        Г
                                    ЭЭЕ  52    Г
                                 2    Г        Г
 6.    6 (6 x 4)   = 144    =  12     Г      ЭЭЕ   8
                                      Г        Г
                                    ЭЭЕ  60    Г
                                 2    Г        Г
 7.    7 (7 x 4)   = 196    =  14     Г      ЭЭЕ   8
                                      Г        Г
                                    ЭЭЕ  68    Г
                                 2    Г        Г
 8.    8 (8 x 4)   = 256    =  16     Г      ЭЭЕ   8
                                      Г        Г
                                    ЭЭЕ  76    Г
                                 2    Г        Г
 9.    9 (9 x 4)   = 324    =  18     Г      ЭЭЕ   8
                                      Г        Г
                                    ЭЭЕ  84    Г
                                 2    Г        Г
 10.  10 (10 x 4)  = 400    =  20     Г      ФФй
                                      Г
                                    ФФй
       Continue....



       Where; also as before:



       кФФФФФФФП
       Г COUNT Г
       РФФФФФФФй

                    кФ         ФП       2             кФФФП
           1.  (n.) Г (n) x (y) Г  =   n  x  (y)   =  Г Z Г
                    РФ         Фй                     РФФФй

                                        2
           2.                    (n + 1)  x  (y)


                                        2
           3.                    (n + 2)  x  (y)


                                        2
           4.                    (n + 3)  x  (y)


                                 continue....



           is present;

                        in which there is another series of

                        кФФФФФФП2
                        Г EVEN Г   whole numbers
                        РФФФФФФй   also generated.
                                                             2
                        Wherein another Lineal Series of  (n)
                                                                 2
                                                          (n + 1)
                                                                 2
                                                          (n + 2)
                                                                 2
                                                          (n + 3)

                                                          continue....

                        is also generated in the form of:


 TABLE 13
 ФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФФ

         кФ    ФП
         Г   1  Г      кФФФФФ
       2 Г ФФФФ Г  =  \Г 1
         Г  ћ4  Г
         РФ    Фй                     Having the operators:

                                               к      ФП      кФФФФФФФФФФФФФФ
         кФ    ФП                              Г   1   Г      Г к        П2
         Г   1  Г      кФФФФФ         (n  + 2) Г ФФФФФ Г  =   Г Г n  + 1 Г
       4 Г ФФФФ Г  =  \Г 4              i      Г   ћ4  Г      Г Г  f     Г
         Г  ћ4  Г                              Р      Фй     \Г Р        й
         РФ    Фй
                                          + 2                       + 1

         кФ    ФП                         + 2                       + 1
         Г   1  Г      кФФФФФ
       6 Г ФФФФ Г  =  \Г 9                + 2                       + 1
         Г  ћ4  Г
         РФ    Фй
                                          continue.....

         кФ    ФП
         Г   1  Г      кФФФФФ         When:  (n )  =  0
       8 Г ФФФФ Г  =  \Г 16                    i
         Г  ћ4  Г
         РФ    Фй                            (n )  =  1
                                               f

         кФ    ФП                            (y)   =  4
         Г   1  Г      кФФФФФ
      10 Г ФФФФ Г  =  \Г 25
         Г  ћ4  Г                     As in:
         РФ    Фй
                                               к      ФП      кФФФФФФФФФФФФФФ
                                               Г   1   Г      Г к       П2
         кФ    ФП                     (n  + 2) Г ФФФФФ Г  =   Г Гn  + 1)Г
         Г   1  Г      кФФФФФ           i      Г   ћy  Г      Г Г f     Г
      12 Г ФФФФ Г  =  \Г 36                    Р      Фй     \Г Р       й
         Г  ћ4  Г
         РФ    Фй

         Continue....










  лпппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппппл
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлААААААА  CONTINUED IN  MATH.2  ААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
 ГлАААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААААлГ
  лмммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммммл